Triângulos — Geometria Plana

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O que é um Triângulo?

📌 Definição

Um triângulo é uma figura geométrica plana formada por três segmentos de reta (lados) que se encontram em três pontos (vértices), delimitando uma região fechada do plano.

Triângulo ABC — vértices (A, B, C) em vermelho · lados (a, b, c) em azul · ângulos internos (α, β, γ) em laranja

🔵 Vértices

Os três pontos de encontro dos lados. Indicados por letras maiúsculas: A, B, C.

📏 Lados

Os três segmentos que formam o triângulo: AB, BC e CA. Também chamados a, b, c.

📐 Ângulos Internos

Ângulos formados dentro da figura: α, β, γ — um em cada vértice.

↗ Ângulos Externos

Formados pela extensão de um lado com o lado adjacente. Cada vértice gera um ângulo externo.

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Condição de Existência do Triângulo

Nem qualquer três medidas formam um triângulo! Há uma regra fundamental chamada desigualdade triangular:

a + b > c | a + c > b | b + c > a

📌 Regra de Ouro

Para que um triângulo exista, a soma de dois lados quaisquer deve ser estritamente maior (não igual, não menor) que o terceiro lado.

Passo a passo para verificar:

1
Identifique as três medidas. Ex.: 6 cm, 7 cm e 11 cm
2
Faça as três somas: 6+7=13 · 6+11=17 · 7+11=18
3
Compare cada soma com o terceiro lado: 13>11 ✓ · 17>7 ✓ · 18>6 ✓
✓
Todas maiores → triângulo existe!

✅ EXISTE — 6, 7 e 11 cm

6+7=13 > 11 ✓
6+11=17 > 7 ✓
7+11=18 > 6 ✓
→ Triângulo existe!

❌ NÃO EXISTE — 7, 15 e 4 cm

7+4=11 não é maior que 15 ✗
→ Triângulo NÃO existe!
(do exercício do seu livro)

❌ NÃO EXISTE — 1, 2 e 3 cm

1+2=3 que é IGUAL a 3 ✗
→ Precisa ser MAIOR, não igual!
(exercício SEAR do seu livro)

✅ EXISTE — 3, 4 e 6 cm

3+4=7 > 6 ✓
3+6=9 > 4 ✓
4+6=10 > 3 ✓
→ Triângulo existe!

⚠️Cuidado! Se a soma for igual ao terceiro lado (ex: 3+4=7), o triângulo não existe. A condição exige soma estritamente maior (>).

💡Dica rápida: Basta verificar se a soma dos dois menores lados é maior que o maior. Se passar nesse teste, os outros dois automaticamente passam!

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Classificação por Ângulos

Acutângulo

Todos os ângulos < 90°
α < 90°, β < 90°, γ < 90°

Retângulo

Um ângulo = 90°
α = 90°

Obtusângulo

Um ângulo > 90°
α > 90°

Tipo	Condição	Exemplo de ângulos
Acutângulo	Todos os ângulos < 90°	60° + 70° + 50° = 180°
Retângulo	Um ângulo = 90°	90° + 52° + 38° = 180°
Obtusângulo	Um ângulo > 90°	110° + 40° + 30° = 180°

🧠Um triângulo só pode ter no máximo um ângulo reto ou obtuso. Por quê? Dois ângulos ≥ 90° já somariam ≥ 180°, impossibilitando o terceiro ângulo positivo!

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Classificação por Lados

Equilátero

Os 3 lados são iguais
Todos os ângulos = 60°
AB = BC = CA

Isósceles

2 lados iguais, 1 diferente
Ângulos da base são iguais
AB = AC ≠ BC

Escaleno

Os 3 lados são diferentes
Os 3 ângulos também
AB ≠ BC ≠ CA

📌Um triângulo pode ter duas classificações simultâneas! Exemplo: retângulo e isósceles, acutângulo e equilátero, obtusângulo e escaleno. Isso aparece muito em provas!

💡Todo triângulo equilátero é também isósceles (pois tem pelo menos 2 lados iguais). Mas nem todo isósceles é equilátero.

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Soma dos Ângulos Internos = 180°

α + β + γ = 180°

📌 Propriedade Fundamental

Em qualquer triângulo (não importa o formato), a soma das medidas dos três ângulos internos é sempre exatamente 180°.

Em qualquer triângulo ABC: α + β + γ = 180°

Como usar essa propriedade:

🔎 Achar o terceiro ângulo

γ = 180° − α − β

Exemplo: α=55°, β=75°
γ = 180°−55°−75° = 50°

🔎 Triângulo isósceles (2 ângulos iguais)

2α + γ = 180° → α = (180°−γ)/2

Exemplo: γ=20° (vértice)
α = β = (180°−20°)/2 = 80°

🔎 Triângulo equilátero

α = β = γ e α+β+γ=180°

3α = 180° → α = 60°
Todo equilátero tem ângulos de 60°!

🔎 Ângulos externos ↔ internos

Ângulo externo + ângulo interno adjacente = 180° (suplementares)

Se ext=120° → interno = 180°−120° = 60°

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Ângulo Externo do Triângulo

📌 Propriedade Essencial

A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

ângulo externo = α + β (internos não adjacentes)

Ângulo externo BCD = α (em A) + β (em B) — os dois ângulos internos NÃO adjacentes a ele

✅ Exemplo 1 (do livro)

Ângulo externo z=120°, outro externo w=100°.
Internos adjacentes: 180°−120°=60° e 180°−100°=80°
Então x = 180°−60°−80° = 40°

✅ Exemplo 2

Ext=120°, interno não adjacente α=60°. Qual é β?
120° = 60° + β
β = 120°−60° = 60°

🔁Consequência útil: O ângulo externo e o interno adjacente são suplementares (somam 180°). Então: interno adjacente = 180° − externo.

🌐Soma dos ângulos externos: A soma dos três ângulos externos de qualquer triângulo é sempre 360°. (Vale para qualquer polígono convexo!)

🎯 Desafio do Livro!

10 questões baseadas nos exercícios das suas fotos — mostre que aprendeu!

Questão 1 de 10

Questão 1 · Condição de Existência

É possível construir um triângulo com lados medindo 7 cm, 15 cm e 4 cm? (Exercício do seu livro)

Questão 2 · Soma dos Ângulos Internos

Um triângulo isósceles tem dois ângulos iguais de 63°. Qual é a medida do terceiro ângulo? (Exercício 6a do livro)

Questão 3 · Ângulo Externo

Um ângulo externo de um triângulo mede 120°. Um dos ângulos internos não adjacentes mede 60°. Qual é o outro ângulo interno não adjacente?

Questão 4 · Classificação — INEP

Um retalho triangular de colcha tem um ângulo interno maior que 90° e dois lados com a mesma medida. Como esse triângulo é classificado?

Questão 5 · Ângulos Externos → Interno — Exercício 2 do livro

No triângulo ABC, o ângulo externo z = 120° e o ângulo externo w = 100°. Qual é a medida do ângulo interno x no terceiro vértice?

Questão 6 · Condição de Existência — SEAR

Qual das alternativas abaixo representa medidas que permitem construir um triângulo?

Questão 7 · Classificação por Ângulos

Um triângulo tem ângulos internos de 52°, 90° e 38°. Como ele é classificado quanto aos ângulos?

Questão 8 · Triângulo Isósceles

Um triângulo isósceles tem o ângulo do vértice (apex) medindo 20°. Qual é a medida de cada ângulo da base?

Questão 9 · Condição de Existência

Lados de 6 cm, 7 cm e 11 cm formam um triângulo? (Exercício 4c do livro)

Questão 10 · Soma dos Ângulos Externos

Qual é a soma das medidas dos três ângulos externos de qualquer triângulo?

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